七年级数学竞赛题
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.如图所示,BC∥DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是( ) (A)60° (B)33° (C)30° (D)23° 2.下列运算正确的是( )
(A)3a-(2a-b)=a-b (B)(a3b2-2a2b)÷ab=a2b-2
11
(C)(a+2b)(a-2b)=a2-2b2 (D)(-a2b)3=-a6b3
28
3.(2012武汉中考)从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张.下列事件中，必然事件是( )
(A)标号小于6 (B)标号大于6 (C)标号是奇数 (D)标号是3 4.如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，则∠C与∠BOD的关系是( ) (A)相等 (B)互余
(C)互补 (D)不互余、不互补也不相等
5.(2012绵阳中考)图(1)是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )
2 222
(A)2mn (B)(m+n)(C)(m-n) (D)m-n
6.根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如图规律，由图可以判断，下列说法错误的是
( )
(A) 男生在13岁时身高增长速度最快 (B)女生在10岁以后身高增长速度放慢 (C)11岁时男女生身高增长速度基本相同 (D)女生身高增长的速度总比男生慢 7.如图，AB∥CD，CE∥BF，A，E，F，D在一条直线上，BC与AD交于点O且OE=OF，则图中有全等三角形的对数为
( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8. (2012大庆中考)如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域Ⅰ为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点O转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域Ⅰ有重叠(O点除外)的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为
( )
1157(A) (B) (C) (D)
641212二、填空题(每小题4分，共24分)
9.如图，直线a，b被直线c所截(即直线c与直线a，b都相交)，且a∥b，若∠1=118°，则∠2的度数=____度
.
10.(2012泰州中考)若代数式x2+3x+2可以表示为(x-1)2+a(x-1)+b的形式,则a+b的值是____.
11.(2012厦门中考)在分别写有整数1到10的10张卡片中，随机抽取1张卡片，则该卡片的数字恰好是奇数的概率是____.
12.某市出租车价格是这样规定的：不超过2千米，付车费5元，超过的部分按每17.(10分)(2012吉林中考)在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：
千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x>2)千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为________________.
13.(2012嘉兴中考)在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为____.
(13题图) (13题图)
14.(2012三明中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立.你添加的条件是__________________.(不再添加辅助线和字母)
三、解答题(共52分)
15.(10分)(2012贵阳中考)先化简，再求值：
2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=-3，b=1
2
.
16.(10分)(2012南宁中考)如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点.
(1)图中有哪几对全等三角形，请写出来; (2)试判断OE和AB的位置关系，并给予证明.
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校;
情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进. (1)情境a，b所对应的函数图象分别是____、____(填写序号); (2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.
18.(10分)(2012乐山中考)如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求：A与A1,B与B1，C与C1相对应)
(2)在(1)问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积.
19. (12分)甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”“石头”“剪子”“布” 的卡片张数分别为2,3,4,6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少? (2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少? (3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大? 21.(12分)请完成下面的说明：
1
21
(2)如图(2)所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+∠A.
2
(1)如图(1)所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC=90°?∠A.
(3)根据(1)，(2)的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗
?
20 (8分)
请用图形验证说明“完全平方和公式”的合理性
答案解析
1.【解析】选B.因为BC∥DE，所以∠EDB=∠1=108°.
又因为∠EDB=∠A+∠AED，所以∠A=∠EDB-∠AED=108°-75°=33°. 2.【解析】选D.A,3a-(2a-b)=a+b，故选项错误; B,(a3b2-2a2b)÷7.【解析】选B.①因为CE∥BF，所以∠OEC=∠OFB， 又OE=OF，∠COE=∠BOF，所以△OCE≌△OBF， 所以OC=OB，CE=BF;
②因为AB∥CD，所以∠ABO=∠DCO，∠COD=∠AOB， ab=a2b-2a，故选项错误;C,(a+2b)(a-2b)=a2-4b2，故选项错误;故D正确.
3.【解析】选A.A是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确;B是不可能发生的事件，故选项错误;C是不确定事件，故选项错误;D是不确定事件，故选项错误.
4.【解析】选A.因为△ABC的高为AD，BE，
所以∠C+∠OAE=90°，∠OAE+∠AOE=90°， 所以∠C=∠AOE，
因为∠AOE=∠BOD(对顶角相等)，所以∠C=∠BOD.故选A.
5.【解析】选C.由题意可得，正方形的边长为(m+n),故正方形的面积为(m+n)2,又因为原矩形的面积为4mn,所以中间空的部分的面积=(m+n)2
-4mn=(m-n)2
.故选C.
6.【解析】选D.由图可知男生在13岁时身高增长速度最快，故A选项正确;女生在10岁以后身高增长速度放慢，故B选项正确;11岁时男女生身高增长速度基本相同，故C选项正确;女生身高增长的速度不是总比男生慢，有时快，故D选项错误.
因为OC=OB，故△AOB≌△DOC，所以AB=CD; ③因为AB∥CD，CE∥BF，所以∠ABF=∠ECD， 又因为CE=BF，AB=CD，所以△CDE≌△BAF.
8.【解析】选D.如图，因为当扇形AOB落在区域Ⅰ时，指示灯会发光;
当扇形AOB落在区域Ⅱ的∠FOC(∠FOC=60°)内部时，指示灯会发光; 当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE(∠DOE=60°)内部时，指示灯会发光
.
所以指示灯发光的概率为：
60?90?607
360?12
. 9.【解析】因为a∥b，所以∠1=∠3=118°，因为∠3与∠2互为邻补角，所以∠2=62°.
答案：62
10.【解析】因为x2+3x+2=(x-1)2+a(x-1)+b=x2+(a-2)x+(b-a+1).所以a-2=3,
b-a+1=2,所以a=5,b=6,所以a+b=5+6=11. 答案：11
11.【解析】因为有整数1到10的10张卡片，所以随机抽取1张卡片，共有10种等可能的结果.因为该卡片的数字恰好是奇数的有5种情况，所以该卡片的数字恰好是奇数的概率是510?12
. 答案：1
2
12.【解析】由题意得，李老师乘出租车行驶了x(x>2)千米， 故可得：y=5+(x-2)×1.6=1.6x+1.8. 答案：y=1.6x+1.8
13.【解析】如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求， 因为∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
所以CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， 因为CD=4，所以DE=4. 答案：4
14.【解析】答案不惟一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD等;理由是：①因为AB=AC，所以∠B=∠C，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF;
②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即
可得出DE=DF;
③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF;
④因为∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又因为∠BDE=∠CDF，所以∠B=∠C，即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF. 答案：答案不惟一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD等
15.【解析】原式=2b2+a2-b2-(a2+b2-2ab) =2b2+a2-b2-a2-b2+2ab
=2ab，当a=-3，b=1时，原式=2×(-3)×12
2
=-3.
16.【解析】(1)△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD; (2)OE⊥AB.理由如下：
因为在Rt△ABC和Rt△BAD中，
??
AC?BD，??BAC??ABD，
??
AB?BA，所以△ABC≌△BAD， 所以∠DAB=∠CBA， 所以OA=OB，
因为点E是AB的中点，
所以OE⊥AB.
17.【解析】(1)因为情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，
发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，(2)由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4. 所以S四边形BBCC=(BB1+CC1)×4，
11
12
=×(4+2)×4=12.
19.【解析】(1)若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”12
离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③符合，
所以只有③符合情境a;
因为情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留， 所以只有①符合. 答案：③ ①
(2)图象②是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家. 18.【解析】(1)如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形
.
的卡片共3张，故甲摸出“石头”的概率为
3115?5
. (2)若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为
84
14?7
. (3)若甲先摸，则“锤子”“石头”“剪子”“布”四种卡片都有可能被摸出.
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜(即乙摸出“石头”或“剪子”)的概率为
714?1
2
; 若甲先摸出“石头”，则甲获胜(即乙摸出“剪子”)的概率为
414?27; 若甲先摸出“剪子”，则甲获胜(即乙摸出“布”)的概率为614?3
7
;
若甲先摸出“布”，则甲获胜(即乙摸出“锤子”或“石头”)的概率为
514
. 故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大.