重点中学理科实验班高一招生数学试题
试题卷部分
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。)
1、已知实数a、b、c满足abcb452a0，那么abbc的值为( ) A、0 B、16 C、-16
2、如图，□ DEFG内接于ABC，已知ADE、
EFC、
DBG的面积为1、3、1，那么□ DEFG的面积为( ) A、2
B、2
1
D、-32
A 1
E 3
C、3 D、4 F
3、在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )
4、已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结S1各边中点得四边形S2，顺次连结S2各边中点得四边形S3，以此类推，则S2006为( )
A.是矩形但不是菱形; B. 是菱形但不是矩形; C.既是菱形又是矩形; D.既非矩形又非菱形. 5、方程(xx1)
2
x3
1的所有整数解的个数是( )
A..5个 B.4个 C.3个 D.2个 6、如图,已知等边ABC外有一点P，P 落在ABC 内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1,h2,h3， 满足h1h2h36，那么等边ABC的面积为( )
A.. C. . 第6题图 2
B
A
h3
1
7、若xy1，且有7x2009x130及13y22009y70，则
( )
A.2x的值是 y13720092009 B. C. D. 713713
8、x、y为实数，则使(x2y2xy)c(x2y2)成立的最大常数c 为( )
A.1 B.1 C.0 D.-1 2
二、填空题(每小题6分，共36分)
1
x3311，f()=， 1、对于正数x，规定f(x)= ,例如f(3)=141x134313
11111计算f()+ f()+ f()+ …f()+ f( )+ f(1)+ f(1)+ 20062005200432
f(2)+ f(3)+ … + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)= .
2、函数y
____________ B
，AC4，BC2， 3、如图，在Rt△ABC中，∠C90°
分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积
为 .(结果保留) A
24、已知二次函数ya(a1)x(2a1)x1 (a0)的图像顶 C 第11题图
点为A，与x轴交点为B、C，则tan∠ABC 。
5、如图，△ABC内接于⊙O，BC = a，CA = b，∠A-∠B = 90°，
则⊙O的半径为 。
6、如果三位数abc(表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c的三位数),且满足b
三、解答题(共6题，10+10+13+13+15+15=74分)
215、已知关于x的方程xxaa0和x(3a1)x(2a1)(a2)0。问是22
否存在这样的a值，使得第一个方程的两实根的平方和等于第二个方程的一个整数根若存在，求出这样的a值;若不存在，请说明理由。
16、已知：在矩形AOBC中，OB4，OA3.分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与B，C重合)，过F点的反比例函数yk(k0)的图象与AC边交于点E. x
2
(1)求证：△AOE与△BOF的面积相等;
(2)记SS△OEFS△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少
第16题图
17、已知抛物线y12x3mx18m2m与x轴交于8
，O为原点. A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)两点，与y轴交于点C(0，b)
(1)求m的取值范围;
(2)若m1且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标. 18
(3)在(2)的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.
18、如图，凸四边形ABCD内接于⊙O， AD=BC=90°，AB+CD为一偶数。
求证：四边形ABCD面积为一完全平方数。
19、若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------ ，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2(k=1,2,3,---).试问：(1)第2006个数是1还是2
(2)前2006个数的和是多少前2006个数的平方和是多少
(3)前2006个数两两乘积的和是多少
20、已知二次函数yx2mx1。记当xc时，函数值为yc，那么，是否存在实数2
m，使得对于满足0x1的任意实数a，b，总有yayb1。
3
数学素质测试试题参考答案及评分标准
一、选择题
1、(C)
abc0,b40, 52a0.
∴a5,b4,b(ac). 2
∴abbcb(ac)16.
2、(D)
如图，过点A作AO∥DG交于BC于点O， 则SDBGSEFCSEFCSDGBSEFCSDGB SAOBSAOCSAOBSAOCSABC
1SABC 4有SAOB
SAOC
又3SABC 4SADE
SABC
SEFC
SAOCDE BCSDBGSAOB ① FCBG OCOB
FCBG BC ② 即SEFC
SAOCSDBGSAOB
由①+②得
SADE
SABCSEFCSDBG31SABCSABC441
于是S△ABC = 9，故S□DEFG=9-(1+3+1)= 4
3、(C)
4、(B)
5、(C)
6、(D)
7、(A)
8、(A)令x=y=1，则C1 2
4
当C12时，(x2y2xy)(x2y2
2)
=x2y22xy
=(xy)20 故使原不等式成立的最大常数为1
2
二、填空题
1、2006
2、5.
3、5
24
4、1
2
如图，设二次函数的图像与x轴交于两点，B(x1,0),C(x2,0) 因a(a1)x2(2a1)x10
即(ax1)[(a1)x1]0
a>0，故x1
1a1,x1
2a 所以BCx2x11
a1
a11
a(a1),BD1
2a(a1) 又顶点A(2a1
2a(a1),1
4a(a1))，即AD1
4a(a1) 1
故tanABCtanABD4a(a1)
11
2
2a(a1)
5、1a2b2
2
如图，连结CO交⊙O于D
∵∠ABD=90°+∠B
而∠A=90°+∠B
∴∠ABD=∠A
即 CDB ⌒ = ACD ⌒ ， AC ⌒ = BD ⌒
故ACBDb,CDa2b2⊙O的半径为1a2b2
2
5
6、19 60
22三、解答题 15、第一个方程xxaa0，即有
(xa)(x1a)0
x1a,x2a1.
22故x1x2a2(a1)22a22a1
由第二方x2(3a1)x(2a1)(a2)0，得
[x(2a1)][x(a2)]0
x32a1,x4a2
2若x3为整数，则2a2a12a1，解得a0或2，此时x31或5
22若x4为整数，则2a2a1a2，即2a3a30，此方程无有理根
综上可知，当a0或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。
16、解：(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1kky，2x2x1.S111x1y1k，S21x2y21k. 2222
S1S2，即△AOE与△FOB的面积相等.
k(2)由题意知：E，F两点坐标分别为Ek，3，F4， 34
S△ECF1111ECCF4k3k，
2234
11S△EOFS矩形AOBCS△AOES△BOFS△ECF12kkS△ECF12kS△ECF 22
111SS△OEFS△ECF12k2S△ECF12k24k3k 234
11 Sk2k.当k16时，S有最大值,S312min11212412
6
17、解：(1)利用判别式0解得m0
(2)注意条件m.12 可得18m10，从而18mm0， 18
18m2m8(18m2m)0， 所有x1x21
8
x1x23m24m0x1x20 1
8
所以 满足条件的抛物线图象如图所示
依题意(x1x2)3b 24m3b，而18mmb，
2所以有18mm8m，解得m0(舍去) m21 2
123xx4为所求的抛物线解析式 182
123xx40得A(-8，0)令、B(-4，0)、C(0，4)(8分) 182从而y
(3)PBM与ABC相似有两种情况：
1) 当PQ∥AC，AP=OQ=k，由AOCO， POQO
得848，解得k 8kk3
2)当PQ与AC不平行，设有∠ACB=∠MPB，
过B作AC的垂线，垂足为D， 利用sinABDCO,求得
BD= ABAC5
BDBC由RtCDB∽RtPOQ，则有，
即，化简得OQPQkk22k80,解得k4或k2，但由CQ=4-k，知0
18、证法1：
∵ = ，∴AB∥DC，ABCD为梯形。过O作MN⊥AB于M交CD于N，易知MN⊥CD于N，由垂径定理知M为AB中点，N为CD中点，连结OA、OD。
∵∠AOD=90°，∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN，从而有
7
RtAOMRtODNOMDN1
2CD,ONAM1
2AB ∴MNOMON1
2(ABCD) ∴S1
ABCD2(ABCD)MN
11
2(ABCD)2(ABCD)
[1
2(ABCD)]2
∵AB+CD为偶数，∴SABCD必是完全平方数。
证法2：
连结OA、OB、OC、OD，设⊙O半径为R，∠COD=a，易知∠AOB=180°-a 。于是SABCDSAODABOCSCODSAOB
1
2R21
2R21
2R2sina1
2R2sin(180a)
R2R2sina
延长AO交⊙O于K，连结BK
易证BOKCODBKCD,BOKCODa，在Rt△ABK中， AB2BK2AK24R2即AB2CD24R2,R21
4(AB2CD2)……②
又ABBK2S2
ABKAKBOsina2Rsina 即ABCD2R2sina,R2sina1
2ABCD …………③
将②、③代入① ∴S1
ABCD(AB2CD21
4)2ABCD
1
4(AB2CD22ABCD)
1
4(ABCD)2
[12
2(ABCD)]
∵AB+CD为一偶数
∴SABCD必是完全平方数
1) 19、把该列数如下分组：
1 第1组
2 1 第2组
2 2 1 第3组
2 2 2 1 第4组
8 (
2 2 2 2 1 第5组
-------
2 2 2 2 2 1 第n组 (有n-1个2)
易得，第2006个数为第63组，第53个数，为2;
(2) 前2006个数的和为62+19442=3950，
前2006个数的平方和是：621195027862
(3)记这2006个数为 22
a1，a2，,a2006
记Ra1a2
Ta12a22
a2a2006
R2T
395027862
1S(395027862)77973192
20、设f(x)在0x1的最小值为M，原问题等价于2M1,M二次函数yx2mx1的图像是一条开口向上的抛的线 ①当对称轴xm0时，由图像可知，x0时，y最小1，这时 12a200639502a200662121950227862Sa1a2a1a32S(a1a2a1a2006a2a3a2a42a2006)2(a12a2 2a2006)a2005a20061 21成立。 2②当对称轴xm，0m1时，由图像可知xm时，y最小且y最小1m2，这时有1m21212,m，故有0m 222
③当对称轴xm，m1时，由图像可知，x1时，y最小且y最小22m，这时有22m13,m与m1矛盾。 24
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m
2 2
9